概率分布
离散型 分布列、概率质量函数、累加分布函数、概率点表、阶梯函数。
连续型 概率密度函数、积分分布函数。
全概率公式
事件式：$ℙ(A)=\sum_{i=0}^{m}[ℙ(B_i)ℙ(A|B_i)]$。
离散型期望式：$𝔼[Y]=\sum_{i=0}^{\infty}𝔼[Y|X=x_i]ℙ(X=x_i)$。
连续型期望式：$𝔼[Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}𝔼[Y|X=x_i]f_X(x)𝕕x$。
期望式：$𝔼[Y]=𝔼[𝔼[Y|X]]$，由$Y$在$X=x$的条件概率分布快速求期望。
方差式：$𝔻[Y]=𝔼[𝔻[Y|X]]+𝔻[𝔼[Y|X]]$，核心都是$[Y|X]$。
常见离散型随机变量概率分布
伯努利分布 Bernoulli(n, p)
概率点$ℙ\{Y=k\}=ℂ_n^kp^kq^{n-k}$；
期望$𝔼=np$，方差$𝔻=npq$。
也叫二项分布。
几何分布 Geometric(p)
概率点$ℙ\{Y=k\}=pq^{k-1}$；
期望$𝔼=1/p$，方差$𝔻=q/p^2$。
无记忆性，已发生的事件不影响后面的事件。
超几何分布 Hypergeometric(N, M, n, m)
概率点$ℙ\{Y=k\}=ℂ_M^m⋅ℂ_{N-M}^{n-m}/ℂ_N^n$；
期望、方差无特定公式，用定义算。
泊松分布 Possion(λ)
概率点$ℙ\{Y=k\}=𝕖^{-𝜆}⋅𝜆^k/k!$；
期望$𝔼=λ$，方差$𝔻=λ$。
泊松分布定理，当试验次数趋于无穷大而事件发生概率趋于零时，二项分布可用泊松分布近似，核心条件为试验次数与概率的乘积趋于常数。
常见连续型随机变量概率分布
均匀分布 Uniform(a, b)
概率密度$𝒇(x)=1/(b-a), 𝚒𝚏 \;\; a < x < b; 0, 𝚎𝚕𝚜𝚎.$；
分布函数$𝑭(x)=\begin{cases}0\qquad,x<a;\\\frac{x}{b-a},\;a<x<b;\\1\qquad,x>b;\end{cases}$
期望$𝔼=\frac{1}{2}(a+b)$，方差$𝔻=\frac{1}{12}(b-a)^2$。
指数分布 Exponent(ϑ)
概率密度$𝒇(x)=𝜗𝕖^{-𝜗x}, 𝚒𝚏 \;\; x > 0; 0, 𝚎𝚕𝚜𝚎.$；
分布函数$𝑭(x)=\begin{cases}0, \qquad x < 0; \\1-𝕖^{-𝜗x}, \; x > 0;\end{cases}$
期望$𝔼=1/𝜗$，方差$𝔻=1/𝜗^2$。
无记忆性。
正态分布 Normal(μ, σ)
概率密度$𝒇(x)=1/\sqrt{2𝜋}𝜎\exp\{-(x-𝜇)^2/2𝜎^2\}, x \in (-\infty, +\infty).$；
期望$𝔼=𝜇$，方差$𝔻=𝜎^2$。
也叫高斯分布，重要的高斯积分$\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\{-x^2\}\mathbb{d}x=2\int_{0}^{+\infty}\exp\{-x^2\}\mathbb{d}x=\sqrt{\pi}$。
$\frac{X-𝜇}{𝜎}$ ~ Normal(0, 1)，标准正态分布，分布函数属于超越函数，一般记作$𝜱(x)$，$𝜱(-x)=1-𝜱(x)$。
