01、连续与可微

【01】多元函数连续的定义

当$(x,y)\to(x_0,y_0)$时，若$\underline{z(x,y)}=z(x_0,y_0)$，则称函数$\underline{z(x,y)}$在$(x_0,y_0)$处连续，$(x,y)$要从平面上的各个方向趋近$(x_0,y_0)$。

【02】偏导数存在

$\frac{𝜕z}{𝜕x}\Big|_{(x_0,y_0)}=\lim_{𝓍\to0}\Large\frac{z(x_0+𝓍,y_0)-z(x_0,y_0)}{𝓍}$，极限是否存在？
$\frac{𝜕z}{𝜕y}\Big|_{(x_0,y_0)}=\lim_{𝓎\to0}\Large\frac{z(x_0,y_0+𝓎)-z(x_0,y_0)}{𝓎}$，极限是否存在？

【03】偏导函数也是多元函数，

在可能的间断点处，按连续的定义判别是否连续。

【04】多元函数可微

❶定义

当$(𝓍,𝓎)\to(0,0)$时，若函数的增量$𝓏=z(x_0+𝓍,y_0+𝓎)-z(x_0,y_0)$可以表示为$𝜜𝓍+𝜝𝓎+𝝄(\sqrt{(𝓍)^2+(𝓎)^2})$，其中$𝜜,𝜝$只与$x_0,y_0$有关，则称$z=\underline{z(x,y)}$在$(x_0,y_0)$处可微。

❷可微的必要条件

$z=\underline{z(x,y)}$在$(x_0,y_0)$处可微$\Rightarrow$函数在此连续，两偏导数存在。

$\left.𝕕z\right|_{(x_0,y_0)}=𝜜𝕕x+𝜝𝕕y$，$𝜜=\left.\frac{𝜕z}{𝜕x}\right|_{(x_0,y_0)},𝜝=\left.\frac{𝜕z}{𝜕y}\right|_{(x_0,y_0)}$。

❸可微的充分条件

$z=\underline{z(x,y)}$在$(x_0,y_0)$处可微$\Leftarrow$两偏导数存在，两偏导函数在此连续。

$\lim_{(𝓍,𝓎)\to(0,0)}\frac{𝓏-(𝜜𝓍+𝜝𝓎)}{\sqrt{(𝓍)^2+(𝓎)^2}}=0$ ？